07.1鸡兔同笼及变形拉差距
重点
- 假设法/抬腿法：先假设全是一种，再用差额换算。
- 腿数差型：用“腿数差”列方程或分组凑。
- 大小船、僧分馒头都是鸡兔同笼的换装。
例 1L7-课4
鸡兔共 100 只，鸡腿比兔腿少 28 条，鸡、兔各几只？
设兔 x，鸡 100−x。兔腿 4x，鸡腿 2(100−x)，4x−2(100−x)=28 → 6x=228 → x=38。
兔 38，鸡 62。
兔 38，鸡 62。
例 2L8-A4
28 名师生坐满大小船共 5 只，大船坐 6 人、小船坐 4 人，各几只？
设大船 x：6x＋4(5−x)=28 → 2x＝8 → x＝4。
大船 4 只，小船 1 只。
大船 4 只，小船 1 只。
例 3L9-B10
一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几人？
设大僧 x：3x ＋ (100−x)/3 = 100 → 9x＋100−x=300 → 8x=200 → x=25。
大僧 25 人，小僧 75 人。
大僧 25 人，小僧 75 人。
07.2盈亏问题拉差距
重点
- 核心公式：(两次结果相差总数)÷(每份相差) = 份数（人数）。
- 一盈一亏：差 = 盈 ＋ 亏；两盈/两亏：差 = 大盈−小盈。
- 先求人/份数，再回代求总量。
例 1L8-B7
分水果：大班每人 2 苹果 5 橘子，小班每人 2 苹果 3 橘子，共分 80 苹果 158 橘子，小班几人？
苹果都每人 2 个 → 总人数 = 80÷2 = 40。
假设全大班需橘子 5×40=200，比实际多 42；每换一个小班少 2 → 小班 = 42÷2 = 21 人。
假设全大班需橘子 5×40=200，比实际多 42；每换一个小班少 2 → 小班 = 42÷2 = 21 人。
例 2L8-B10
发洗衣粉：男师每人 3、女师每人 4 则多 8 包；男 4 女 5 则少 7 包；男比女多 1 人，共多少包？
每人各加 1 包共需多 8＋7=15 → 总人数 15。和差：女 =(15−1)÷2=7，男 8。
总包数 = 3×8＋4×7＋8 = 60 包。
总包数 = 3×8＋4×7＋8 = 60 包。
例 3L9-B3
分苹果：每人 8 个多 3 个；每人 9 个则最后一人只得 5 个，共多少苹果？
设小朋友 x 人：8x＋3 = 9(x−1)＋5 → 8x＋3 = 9x−4 → x = 7。
苹果 = 7×8＋3 = 59 个。
苹果 = 7×8＋3 = 59 个。
07.3植树·锯木与段数问题必拿分
重点
- 一条线段上：段数 = 锯（切、剪）的次数 ＋ 1；锯成 n 段需锯 n−1 次。
- 平均分成 n 段，每段长 = 全长÷n，每段占全长的 1/n。
- 时间按“次数”算：锯 1 次的时间 × 次数 = 总时间（不是按段数）。
例 1L1-A5
把 9 米长的钢筋锯成每段一样长的小段，共锯 5 次：每段占全长几分之几？每段长几米？若锯成两段需 2 分钟，锯成 7 段需几分钟？
锯 5 次得 6 段：每段占全长 1/6，每段长 9÷6 = 1.5 米。
锯成两段需锯 1 次用 2 分钟，故每锯 1 次 = 2 分钟；锯成 7 段需锯 6 次 = 6×2 = 12 分钟。
易错：把“锯成 7 段”当成锯 7 次。
锯成两段需锯 1 次用 2 分钟，故每锯 1 次 = 2 分钟；锯成 7 段需锯 6 次 = 6×2 = 12 分钟。
易错：把“锯成 7 段”当成锯 7 次。
例 2L2-A4
两根同样长的绳子，第一根平均剪成 5 段，第二根平均剪成 9 段，第一根每段比第二根每段长 10 米，原来每根绳子长几米？
设全长 L：L/5 − L/9 = 10 →(9L−5L)/45 = 10 → 4L/45 = 10 → L = 112.5 米。
例 3植树问题标准型
（同型）在一条 100 米长的路一旁每隔 5 米栽一棵树（两端都栽），一共要栽多少棵？
棵数 = 段数 ＋ 1 = 100÷5 ＋ 1 = 21 棵。
“两端都栽”→ 棵数比段数多 1；这是植树问题最基本的一类。
“两端都栽”→ 棵数比段数多 1；这是植树问题最基本的一类。
07.4和差倍问题必拿分
重点
- 和差：大 =(和＋差)÷2，小 =(和−差)÷2。
- 调动/转移后“相差/相等/成倍”，常设未知数列方程。
- “给出 a 本后一样多”说明原差 = 2a。
例 1L4-A9
上层书是下层的 3 倍，把上层搬 60 本到下层后两层一样多，原来各几本？
设下层 x，上层 3x：3x−60 = x＋60 → 2x = 120 → x = 60。
下层 60 本，上层 180 本。
下层 60 本，上层 180 本。
例 2L6-B5
甲乙两校共 864 人，从甲调 32 人到乙后甲仍比乙多 48 人，原来各几人？
设甲 x：x−32 −(864−x＋32) = 48 → 2x − 928 = 48 → x = 488。
甲 488，乙 376。
甲 488，乙 376。
例 3L1-A?(B卷4)
买 140 本科幻画，再买 16 本后科幻画是故事书的 3 倍，买了几本故事书？
故事书 =(140＋16)÷3 = 52 本。
07.5年龄问题拉差距
重点
- 关键：两人年龄差永远不变。
- “几年后/前”同时加减相同岁数，差不变、倍数变。
- 复杂的“当我……你才……”用方程或线段图。
例 1L1-B6
小元、小芳、小璐年龄为三个连续自然数，今年三人与老王年龄和 100 岁；17 年后三人之和恰等于老王年龄，今年小元几岁？
17 年后老王 =[100−17×2]÷2 = 33；今年老王 = 33−17 = 67。
今年三人和 = 100−67 = 33，中间数 = 11，最大（小元）= 12 岁。
今年三人和 = 100−67 = 33，中间数 = 11，最大（小元）= 12 岁。
例 2L3-A7
甲说：当我岁数是你现在岁数时，你才 4 岁；乙说：当我岁数是你的岁数时，你将 61 岁。求甲乙现在年龄。
设甲 x、乙 y，年龄差 d = x−y。
由两句列：y−d=4，x＋d=61，且 d=x−y。解得甲 42、乙 23（差 19）。
由两句列：y−d=4，x＋d=61，且 d=x−y。解得甲 42、乙 23（差 19）。
例 3L2-B10
某楼住 2 个男孩 4 个女孩，年龄各不相同，最大 10 岁、最小 4 岁，最大男孩比最小女孩大 4 岁，最大女孩比最小男孩大 4 岁，最大的男孩几岁？
用“差不变”逐步排除：若最大男孩 10 岁则推出最小 5 岁，与“最小 4 岁”矛盾；故最大女孩为 10 岁，最小男孩 = 10−4 = 6 岁，最小女孩 4 岁，最大男孩 = 4＋4 = 8 岁。
年龄差不变是突破口，再结合“各不相同”逐一排除。
年龄差不变是突破口，再结合“各不相同”逐一排除。
07.6平均数问题必拿分
重点
- 平均数 = 总数 ÷ 个数；加权平均要按人数加权。
- 男女平均与总平均：人数比 =(另一性别差)的反比。
- “某位数字算错”可由保留位数反推总和再求正确平均。
例 1L2-课4
全班平均 76 分，男生平均 75、女生平均 80，男生比女生多 30 人，求男女各几人。
男生人数:女生人数 =(80−76):(76−75) = 4:1。
女生 = 30÷(4−1) = 10 人，男生 = 40 人。
女生 = 30÷(4−1) = 10 人，男生 = 40 人。
例 2L6-A8
竞赛人数约 380~450，总平均 76，男生 75、女生 80.1，求男女各几人。
男:女 =(80.1−76):(76−75) = 4.1:1，总人数须是 5.1 的倍数即 51 的倍数，区间内 = 408。
男 328，女 80。
男 328，女 80。
例 3L8-课5
求 13 个自然数的平均数保留两位小数得 21.81，老师说百分位错了其他对，正确结果是多少？
21.8□×13 应约等于整数和：21.85×13 = 284.05 → 和 = 284。
284÷13 ≈ 21.85。
284÷13 ≈ 21.85。
例 4L4-B8
某校七年级 4 个班，人数 40、45、44、41，平均分 92、86、87.5、85，求全年级平均分（保留两位小数）。
总分 = 40×92＋45×86＋44×87.5＋41×85 = 14885；总人数 = 170。
平均 = 14885÷170 ≈ 87.56 分（按人数加权，不能直接平均四个班均分）。
平均 = 14885÷170 ≈ 87.56 分（按人数加权，不能直接平均四个班均分）。
07.7抽屉原理与最不利原则压轴
重点
- 抽屉原理：把多于 kn 个物体放进 n 个抽屉，必有一抽屉 ≥ k＋1。
- “至少取几个才能保证”用最不利（最坏）情形：先把不利的全取完再多取。
- 容斥求“至少都满足”：用不满足的总数去顶。
例 1L8-A5
六年级 544 人，至少有几人是同一个月出生？
12 个月当抽屉。544÷12 = 45……4，最坏每月 45 人，剩 4 人无论放哪都使某月达 46 人。
例 2L6-课6
一副牌 54 张（四花色各 13，外加 2 张王），至少取几张才能保证四种花色各有 2 张？
最坏：取完三种花色 39 张＋2 张王 = 41 张，再取 2 张才能保证第四花色到 2 张。
共 41＋2 = 43 张。
共 41＋2 = 43 张。
例 3L5-课5
班级 48 人，会游泳 27、会骑车 33、会乒乓 40，至少有几人三项都会？
不会三项的分别为 21、15、8，最坏互不重叠共 44 人。
三项都会至少 = 48−44 = 4 人。
三项都会至少 = 48−44 = 4 人。
07.8牛吃草（追加难度）压轴
重点
- 模型：原有量固定 ＋ 新增量随时间匀速增加。
- 设“每份/每单位”量，列两组数据求出每段时间新增的份数与原有份数。
- 本套教材此类典型仅 1 题（船漏水），熟记解法即可迁移到牧场牛吃草、泉水抽水等。
例 1L8-B4
船漏水已进了一些水且匀速进水：10 人淘 3 小时淘完；5 人淘 8 小时淘完。要 2 小时淘完，需几人？
设每人每小时淘 1 份。总工作量：10×3=30 份、5×8=40 份。
每小时新进水 =(40−30)÷(8−3) = 2 份；原有水 = 30 − 2×3 = 24 份。
2 小时要淘 = 24 ＋ 2×2 = 28 份，需 28÷2 = 14 人。
每小时新进水 =(40−30)÷(8−3) = 2 份；原有水 = 30 − 2×3 = 24 份。
2 小时要淘 = 24 ＋ 2×2 = 28 份，需 28÷2 = 14 人。
例 2牛吃草标准模型
（同型迁移）牧场原有草，每天匀速长草：可供 27 头牛吃 6 天，或 23 头牛吃 9 天，问 21 头牛可吃几天？
设每头牛每天吃 1 份。总量：27×6=162、23×9=207。
每天长草 =(207−162)÷(9−6)=15 份；原有草 = 162−15×6 = 72 份。
21 头每天净吃 21−15=6 份，可吃 72÷6 = 12 天。
这是牛吃草标准模型，与船漏水完全同构。
每天长草 =(207−162)÷(9−6)=15 份；原有草 = 162−15×6 = 72 份。
21 头每天净吃 21−15=6 份，可吃 72÷6 = 12 天。
这是牛吃草标准模型，与船漏水完全同构。
例 3牛吃草标准模型
（同型迁移）泉水匀速涌入井中，4 台抽水机 40 分钟抽干，5 台 30 分钟抽干，要 20 分钟抽干需几台？
设每台每分钟抽 1 份。总抽水量：4×40=160、5×30=150。
每分钟涌入 =(160−150)÷(40−30)=1 份；原有水 = 160−1×40 = 120 份。
20 分钟要抽 = 120＋1×20 = 140 份，需 140÷20 = 7 台。
与船漏水、牧场牛吃草完全同构：先求“每分钟新增”与“原有量”。
每分钟涌入 =(160−150)÷(40−30)=1 份；原有水 = 160−1×40 = 120 份。
20 分钟要抽 = 120＋1×20 = 140 份，需 140÷20 = 7 台。
与船漏水、牧场牛吃草完全同构：先求“每分钟新增”与“原有量”。